হানিকম্ব জালিকায় ফটোভোলটাইক বেরি কার্ভেচার এবং হল এফেক্ট

টেবিল অফ কনটেন্টস

1. Introduction & Overview

এই গবেষণা গ্রাফিনের মতো মৌচাক জালিবিশিষ্ট দ্বি-মাত্রিক পদার্থে একটি অভিনব অরৈখিক পরিবহন ঘটনা অনুসন্ধান করে। মূল আবিষ্কারটি হল photovoltaic Hall effect—একটি হল কারেন্ট যা শুধুমাত্র তীব্র, বৃত্তাকারভাবে পোলারাইজড আলোর কারণে উদ্ভূত হয়, কোনো স্থির চৌম্বক ক্ষেত্রের অনুপস্থিতিতে। এই প্রভাবটি প্রচলিত হল প্রভাব থেকে মৌলিকভাবে ভিন্ন এবং একটি শক্তিশালী, সময়-পর্যায়ক্রমিক ক্ষেত্রে ইলেকট্রনিক তরঙ্গফাংশনের জ্যামিতিক পর্যায় (বেরি পর্যায়) নিয়ন্ত্রণ থেকে উদ্ভূত হয়। প্রবর্তিত মূল তাত্ত্বিক বস্তুটি হল ফটোভোলটাইক বেরি বক্রতা, যা আদর্শ বেরি বক্রতার একটি অ-সমতাপ্রাপ্ত সাধারণীকরণ, এবং এটি শক্তিশালী এসি চালনার অধীনে হল প্রতিক্রিয়া নিয়ন্ত্রণ করে।

২. তাত্ত্বিক কাঠামো

2.1 Time-Periodic Hamiltonian & Floquet Theory

সিস্টেমটি একটি বৃত্তাকার পোলারাইজড এসি বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের অধীনে একটি হানিকম্ব জালিতে একটি টাইট-বাইন্ডিং হ্যামিলটনীয় দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে, যা একটি সময়-নির্ভর ভেক্টর সম্ভাবনা $\mathbf{A}_{ac}(t) = (F/\Omega)(\cos\Omega t, \sin\Omega t)$ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, যেখানে $F = eE$ হল ক্ষেত্রের শক্তি এবং $\Omega$ হল কম্পাঙ্ক। হ্যামিলটনীয় সময়-পর্যায়ক্রমিক হয়ে ওঠে: $H(t) = -\sum_{ij} t_{ij} e^{-i\hat{e}_{ij}\cdot\mathbf{A}_{ac}(t)} c^\dagger_i c_j$। ফ্লোকেট তত্ত্ব অনুসারে, সময়-নির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধানগুলি $|\Psi_\alpha(t)\rangle = e^{-i\varepsilon_\alpha t} |\Phi_\alpha(t)\rangle$ হিসাবে লেখা যেতে পারে, যেখানে $\varepsilon_\alpha$ হল ফ্লোকেট কোয়াসি-শক্তি এবং $|\Phi_\alpha(t)\rangle$ হল একটি সময়-পর্যায়ক্রমিক ফ্লোকেট অবস্থা। সূচক $\alpha$ মূল ব্যান্ড সূচক এবং ফোটন সংখ্যা $m$ কে একত্রিত করে (যেমন, $\alpha = (i, m)$)।

2.2 ফটোভোলটাইক বেরি কার্ভেচার

Photovoltaic Berry Curvature হল কেন্দ্রীয় জ্যামিতিক রাশি। এটি Aharonov-Anandan phase (একটি non-adiabatic geometric phase) থেকে উদ্ভূত হয়, যা ইলেকট্রন তরঙ্গফাংশন অর্জন করে যখন AC ক্ষেত্র দ্বারা স্ফটিক ভরবেগ $\mathbf{k}$-কে Brillouin zone-এর চারপাশে একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে চালিত করা হয়: $\mathbf{k}(t) = \mathbf{k} - \mathbf{A}_{ac}(t)$। Adiabatic limit-এ ($\Omega \to 0$), এটি আদর্শ Berry curvature-এ পরিণত হয়। Non-equilibrium Floquet চিত্রে, এটি প্রতিটি Floquet band-এর জন্য সংজ্ঞায়িত হয় এবং Hall current-এ anomalous velocity-এর অবদান নির্ধারণ করে।

2.3 এক্সটেন্ডেড কুবো ফর্মুলা

একটি শক্তিশালী AC ব্যাকগ্রাউন্ডের উপস্থিতিতে হল পরিবাহিতা একটি দুর্বল DC প্রোব ক্ষেত্রের প্যার্টার্বেশন থিওরি থেকে উদ্ভূত। এটি Kubo সূত্রের একটি সম্প্রসারণের দিকে নিয়ে যায়:

$$\sigma_{ab}(\mathbf{A}_{ac}) = i \int \frac{d\mathbf{k}}{(2\pi)^d} \sum_{\alpha \neq \beta} \frac{[f_\beta(\mathbf{k}) - f_\alpha(\mathbf{k})]}{\varepsilon_\beta(\mathbf{k}) - \varepsilon_\alpha(\mathbf{k})} \frac{\langle\langle \Phi_\alpha(\mathbf{k}) | J_b | \Phi_\beta(\mathbf{k}) \rangle\rangle \langle\langle \Phi_\beta(\mathbf{k}) | J_a | \Phi_\alpha(\mathbf{k}) \rangle\rangle}{\varepsilon_\beta(\mathbf{k}) - \varepsilon_\alpha(\mathbf{k}) + i\eta},$$

যেখানে $\langle\langle ... \rangle\rangle$ এসি ক্ষেত্রের একটি পর্যায়ের উপর সময়-গড় নির্দেশ করে, $f_\alpha$ হল Floquet অবস্থা $\alpha$-এর জন্য অসমতুল্য বন্টন ফাংশন, এবং $\mathbf{J}$ হল তড়িৎ প্রবাহ অপারেটর। এই সূত্রটি আদর্শ Kubo সূত্রে পরিণত হয় যখন $\mathbf{A}_{ac}=0$।

3. Key Results & Analysis

3.1 কম্পাঙ্ক ও ক্ষেত্র প্রাবল্যের নির্ভরতা

ফটোভোলটাইক বেরি বক্রতা, এবং ফলস্বরূপ হল পরিবাহিতা, $F/\Omega$ (ক্ষেত্র প্রাবল্য থেকে কম্পাঙ্ক) অনুপাতের উপর প্রবল নির্ভরতা প্রদর্শন করে। এই প্যারামিটারটি ব্রিলুইন অঞ্চলে $\mathbf{k}(t)$-এর বৃত্তাকার কক্ষপথের ব্যাসার্ধ নিয়ন্ত্রণ করে। এই প্রভাব সবচেয়ে স্পষ্ট হয় যখন এই কক্ষপথ ব্যান্ড কাঠামোর এমন অঞ্চলগুলি অনুসন্ধান করে যেখানে অন্তর্নিহিত বেরি বক্রতা শক্তিশালী, যেমন গ্রাফিনে ডিরাক বিন্দুর নিকটবর্তী অঞ্চল।

3.2 হল পরিবাহিতা রাশিমালা

একটি মূল সরলীকৃত ফলাফল হল ফটোভোলটাইক হল পরিবাহিতা জন্য অভিব্যক্তি:

$$\sigma_{xy}(\mathbf{A}_{ac}) = e^2 \int \frac{d\mathbf{k}}{(2\pi)^d} \sum_\alpha f_\alpha(\mathbf{k}) [\nabla_\mathbf{k} \times \mathcal{A}_\alpha(\mathbf{k})]_z,$$

যেখানে $\mathcal{A}_\alpha(\mathbf{k}) = i \langle\langle \Phi_\alpha(\mathbf{k}) | \nabla_\mathbf{k} | \Phi_\alpha(\mathbf{k}) \rangle\rangle$ হল ফ্লোকেট ব্যান্ড $\alpha$ এর জন্য বেরি সংযোগ। এটি সরাসরি কোয়ান্টাম হল পরিবাহিতা সূত্রের সাথে সমান্তরাল, কিন্তু ভারসাম্য আইজেনস্টেটগুলিকে অ-ভারসাম্য ফ্লোকেট অবস্থা দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয়েছে এবং একীকরণটি একটি অ-তাপীয় বন্টন $f_\alpha(\mathbf{k})$ দ্বারা ওজনযুক্ত।

4. Core Insight & Analyst's Perspective

মূল অন্তর্দৃষ্টি: Oka এবং Aoki-এর কাজ হল বিমূর্ত জ্যামিতি (Berry phase) প্রয়োগ করে একটি স্পষ্ট, প্রযুক্তিগতভাবে প্রাসঙ্গিক ঘটনা—চৌম্বক ছাড়াই আলো-প্ররোচিত হল প্রভাব—ভবিষ্যদ্বাণী করার এক মাস্টারক্লাস। মূল অন্তর্দৃষ্টি হল যে তীব্র আলো কেবল ইলেকট্রনকে উত্তেজিত করে না; এটি পারে টপোলজিকাল ল্যান্ডস্কেপ পুনর্বিন্যাস করতে একটি উপাদানের ইলেকট্রনিক ব্যান্ডের মোমেন্টাম স্পেসে, খাঁটি ফোটন কৌণিক ভরবেগ থেকে একটি কার্যকর চৌম্বক ক্ষেত্র সৃষ্টি করে।

Logical Flow: যুক্তিটি অত্যন্ত মার্জিতভাবে পুনরাবৃত্তিমূলক। ১) বৃত্তীয় পোলারাইজড আলো একটি সময়-পর্যায়ক্রমিক বিভব আরোপ করে। ২) ফ্লোকেট তত্ত্ব এটিকে পরিবর্তিত টপোলজি সহ স্থির "ড্রেসড" ব্যান্ডের একটি সেটে ম্যাপ করে। ৩) এই ড্রেসড ব্যান্ডগুলির জ্যামিতি একটি নন-ইকুইলিব্রিয়াম বেরি কার্ভেচারে এনকোডেড থাকে। ৪) এই কার্ভেচার ভরবেগ স্পেসে একটি কার্যকর চৌম্বক ক্ষেত্রের মতো কাজ করে, বাহকগুলিকে বিচ্যুত করে একটি হল ভোল্টেজ তৈরি করে। যুক্তিটি সম্পূর্ণ নিরবচ্ছিন্ন, যা সময়-নির্ভর পের্টার্বেশন তত্ত্ব, টপোলজিক্যাল ব্যান্ড তত্ত্ব এবং ট্রান্সপোর্ট ফেনোমেনোলজিকে সংযুক্ত করে।

Strengths & Flaws: গবেষণাপত্রটির শক্তি হল এর মৌলিক স্বচ্ছতা ও ভবিষ্যদ্বাণীমূলক ক্ষমতা। এটি পরবর্তীতে ফ্লোকেট ইঞ্জিনিয়ারিং ক্ষেত্র হিসেবে গড়ে ওঠার জন্য তাত্ত্বিক নকশা প্রদান করেছিল। তবে, এর প্রধান ত্রুটি, যা পরোক্ষভাবে স্বীকৃত, তা হল একটি ধার্যকৃত নন-ইকুইলিব্রিয়াম ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন $f_\alpha(\mathbf{k})$ এর উপর নির্ভরতা। প্রভাবের মাত্রা কীভাবে ইলেকট্রনগুলি এই ফোটো-ড্রেসড ব্যান্ডগুলিতে অবস্থান করে তার উপর অত্যন্ত সংবেদনশীল, এটি একটি সমস্যা যা বোল্টজম্যান ট্রান্সপোর্ট, ইলেকট্রন-ইলেকট্রন মিথস্ক্রিয়া এবং ফোনন স্ক্যাটারিংকে যুক্ত করে—একটি জটিল ম্যানি-বডি সমস্যা যা আজও সমাধান করা হচ্ছে, যেমন ফ্লোকেট সিস্টেমে উত্তাপ ও তাপীয়করণ সংক্রান্ত পরবর্তী গবেষণায় দেখা যায় (যেমন, Nature Physics reviews on Floquet matter). The initial proposal likely overestimated the achievable Hall conductivity in realistic, dissipative samples.

Actionable Insights: পরীক্ষামূলক গবেষকদের জন্য, মূল বার্তা হলো উচ্চ গতিশীলতা এবং দুর্বল ইলেকট্রন-ফোনন কাপলিং (যেমন উচ্চ-গুণমানের গ্রাফিন বা মোয়ার হেটেরোস্ট্রাকচার) সম্পন্ন পদার্থের উপর ফোকাস করা, যাতে তাপীয় প্রভাব ন্যূনতম হয়। ক্ষতি না করে $F/\Omega$ অনুপাত সর্বাধিক করতে মিড-ইনফ্রারেড বা টিএইচজ় পালস ব্যবহার করুন। তাত্ত্বিকদের জন্য, পরবর্তী ধাপ হলো বাস্তবসম্মতভাবে অপচয় মডেল করার জন্য এই গাণিতিক কাঠামোটি ওপেন কোয়ান্টাম সিস্টেম পদ্ধতি (লিন্ডব্লাড মাস্টার সমীকরণ) এর সাথে একীভূত করা। প্রযুক্তিবিদদের জন্য, এই প্রভাবটি আলোক নিয়ন্ত্রিত আল্ট্রা-ফাস্ট নন-রেসিপ্রোকাল ডিভাইস (অপটিক্যাল ডায়োড, সার্কুলেটর) এর জন্য ফোটোনিক ইন্টিগ্রেটেড সার্কিটে একটি সম্ভাব্য প্রক্রিয়া, যা এমআইটি এবং স্ট্যানফোর্ডের গবেষক দলগুলি সক্রিয়ভাবে অনুসরণ করছে।

5. Technical Details & Mathematical Formalism

গাণিতিক মূলনীতিটি সময়-পর্যায়ক্রমিক হ্যামিলটনিয়ানের চিকিৎসায় নিহিত। ফ্লোকেট অবস্থাগুলি $[H(t) - i\partial_t] |\Phi_\alpha(t)\rangle = \varepsilon_\alpha |\Phi_\alpha(t)\rangle$ সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। ফুরিয়ার ধারায় প্রসারিত করে $|\Phi_\alpha(t)\rangle = \sum_m e^{-im\Omega t} |\phi_\alpha^m\rangle$ যৌগিক (ফোটন-পরিহিত) হিলবার্ট স্পেসে একটি অসীম-মাত্রিক সময়-স্বাধীন আইগেনভ্যালু সমস্যার দিকে নিয়ে যায়:

$$\sum_{m'} \mathcal{H}_{m-m'} |\phi_\alpha^{m'}\rangle = (\varepsilon_\alpha + m\Omega) |\phi_\alpha^m\rangle,$$

যেখানে $\mathcal{H}_n = \frac{1}{T} \int_0^T dt\, H(t) e^{in\Omega t}$. ফ্লোকেট অবস্থার $m=0$ উপাদান (যা "শূন্য-ফোটন" খণ্ড) থেকে, যা চালনার মাধ্যমে অন্যান্য ফোটন খণ্ডের সাথে সংকরিত হয়, ফটোভোলটাইক বেরি সংযোগটি তারপর গণনা করা হয়: $\mathcal{A}_\alpha(\mathbf{k}) = i \langle\phi_\alpha^0(\mathbf{k}) | \nabla_\mathbf{k} | \phi_\alpha^0(\mathbf{k}) \rangle + \text{(পদগুলি $m \neq 0$ থেকে)}.$

6. Experimental Implications & Chart Description

চিত্র 1 বর্ণনা (ধারণাগত): প্রবন্ধে একটি স্কিম্যাটিক ডায়াগ্রাম (চিত্র 1) অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যা ব্রিলুইন জোনে চালিত স্ফটিক ভরবেগ $\mathbf{k} + \mathbf{A}_{ac}(t)$-এর গতিপথ চিত্রিত করে। গতিপথটি মূল ভরবেগ বিন্দু $\mathbf{k}$-কে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত যার ব্যাসার্ধ $F/\Omega$ দ্বারা দেওয়া হয়েছে। যখন $\mathbf{k}$ একটি ডিরাক বিন্দুর (যেমন, গ্রাফিনে K বা K' বিন্দু) নিকটবর্তী হয়, এই বৃত্তাকার পথ ডিরাক শঙ্কুর চারপাশে আবর্তিত হতে পারে, যা জ্যামিতিক (আহারোনভ-আনন্দন) ফেজের উল্লেখযোগ্য সঞ্চয়ের দিকে নিয়ে যায়। এই চিত্রণ অন্তর্নিহিত ব্যান্ডগুলির বেরি বক্রতা কীভাবে AC ক্ষেত্র নমুনা দেয় তা বোঝার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

পরীক্ষামূলক স্বাক্ষর: পূর্বাভাসিত ফটোভোলটাইক হল প্রভাব একটি তীব্র বৃত্তাকার পোলারাইজড আলো দ্বারা বিকিরিত গ্রাফিন নমুনার উপর একটি অনুপ্রস্থ ভোল্টেজ হিসাবে প্রকাশিত হবে, আলোর হেলিসিটি পরিবর্তন করার সাথে সাথে ভোল্টেজের চিহ্ন বিপরীত হবে (বাম-বৃত্তাকার থেকে ডান-বৃত্তাকারে)। ভোল্টেজটি আলোর তীব্রতার সাথে অরৈখিকভাবে স্কেল করবে এবং ফোটন শক্তি $\hbar\Omega$ ব্যান্ড বৈশিষ্ট্যগুলির সাপেক্ষে টিউন করা হলে একটি অনুরণনমূলক কাঠামো থাকবে।

7. বিশ্লেষণ কাঠামো: ধারণাগত কেস স্টাডি

কেস: একটি প্রস্তাবিত ফ্লোকেট টপোলজিকাল ইনসুলেটর বিশ্লেষণ করা।

Framework Steps:

1. Identify the Static System: ভারসাম্য টাইট-বাইন্ডিং মডেল দিয়ে শুরু করুন (যেমন, নিকটতম-প্রতিবেশী হপিং সহ গ্রাফিনের জন্য হালডেন মডেল)। এর ভারসাম্য ব্যান্ড কাঠামো এবং বেরি বক্রতা বণ্টন $\Omega(\mathbf{k})$ গণনা করুন।
2. ড্রাইভ পরিচয় করিয়ে দিন: পিয়ারলস প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে হপিং পদগুলিতে বৃত্তাকারভাবে পোলারাইজড আলোর জন্য সময়-নির্ভর ভেক্টর সম্ভাব্যতা $\mathbf{A}_{ac}(t)$ যোগ করুন: $t_{ij} \rightarrow t_{ij} e^{-i\mathbf{A}_{ac}(t)\cdot\mathbf{r}_{ij}}$।
3. Floquet Hamiltonian গঠন করুন: সময়-নির্ভর Hamiltonian কে Fourier উপাদান $\mathcal{H}_n$ এ প্রসারিত করুন। ফোটন সংখ্যা স্থানকে একটি সসীম পরিসরে ছাঁটাই করুন (যেমন, $m = -N, ..., N$)। এই ভিত্তিতে Floquet Hamiltonian একটি ব্লক-ট্রাইডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স।
4. Solve for Quasi-energies & States: ফ্লোকেট হ্যামিলটনিয়ানকে কর্ণীকরণ করে কোয়াসি-শক্তি বর্ণালী $\{\varepsilon_\alpha\}$ এবং ফ্লোকেট অবস্থার উপাদান $|\phi_\alpha^m\rangle$ প্রাপ্ত করুন।
5. ফটোভোলটাইক কার্ভেচার গণনা করুন: আগ্রহের ফ্লোকেট ব্যান্ডের জন্য (যেটি প্রায়শই মূল যোজ্যতা বা পরিবাহী ব্যান্ডের সাথে রূপান্তরিতভাবে সংযুক্ত), $m=0$ উপাদান বা সম্পূর্ণ ফ্লোকেট অবস্থা ব্যবহার করে বেরি সংযোগ $\mathcal{A}(\mathbf{k})$ এবং এর কার্ল $\nabla_\mathbf{k} \times \mathcal{A}(\mathbf{k})$ গণনা করুন।
6. হল পরিবাহিতা জন্য সমাকলন করুন: মূল্যায়ন করুন $\sigma_{xy} = e^2 \int_{BZ} \frac{d^2k}{(2\pi)^2} \, f(\mathbf{k}) \, [\nabla_\mathbf{k} \times \mathcal{A}(\mathbf{k})]_z$। এটি একটি কার্যকর তাপমাত্রায় ফার্মি-ডিরাক বণ্টন বা সর্বনিম্ন ফ্লোকেট ব্যান্ডের একটি সাধারণ পূরণ হিসাবে প্রায়শই নেওয়া অ-সমতা দখল $f(\mathbf{k})$ এর জন্য একটি অনুমানের প্রয়োজন।

8. Future Applications & Research Directions

• Floquet Engineering of Quantum Materials: প্রচলিত পদার্থে ক্ষণস্থায়ীভাবে টপোলজিক্যাল ফেজ, অতিপরিবাহিতা বা চৌম্বকীয় ক্রম সৃষ্টি করতে আলোর ব্যবহার। এটি আল্ট্রাফাস্ট স্পেকট্রোস্কোপিতে অত্যন্ত সক্রিয় একটি ক্ষেত্র।
• Optically Controlled Non-Reciprocal Devices: এই প্রভাবের উপর ভিত্তি করে অন-চিপ অপটিক্যাল আইসোলেটর বা সার্কুলেটর তৈরি করা, যা ফোটোনিক কোয়ান্টাম কম্পিউটিং এবং অপটিক্যাল কমিউনিকেশনে ব্যাক-রিফ্লেকশন প্রতিরোধের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
• আল্ট্রাফাস্ট স্পিনট্রনিক্স: আলো-প্ররোচিত হল প্রভাবকে স্পিন-অরবিট কাপলিং-এর সাথে যুক্ত করে ফেমটোসেকেন্ড সময়সীমার মধ্যে বিশুদ্ধ স্পিন কারেন্টের অপটিক্যাল উৎপাদন ও নিয়ন্ত্রণ সক্ষম হতে পারে।
• মোয়ার হেটেরোস্ট্রাকচারের সাথে সংহতকরণ: এই ধারণাটি পেঁচানো বিলেয়ার গ্রাফিন বা ট্রানজিশন মেটাল ডাইক্যালকোজেনাইড হেটেরোবিলেয়ারে প্রয়োগ করা, যেখানে সমতল ব্যান্ড এবং শক্তিশালী পারস্পরিক সম্পর্ক বৃহৎ অরৈখিক অপটিক্যাল প্রতিক্রিয়া এবং আলো-প্ররোচিত ফেজ ট্রানজিশনের দিকে নিয়ে যেতে পারে।
• তাপীয় সমস্যা সমাধান: একটি প্রধান ভবিষ্যৎ দিক হল উপাদান প্ল্যাটফর্ম এবং ড্রাইভিং প্রোটোকল (যেমন, চার্পড পালস, মাল্টি-কালার ড্রাইভ) খুঁজে বের করা যা কাঙ্ক্ষিত জ্যামিতিক প্রভাবকে সর্বাধিক করে যখন অপরিবর্তনীয় তাপ এবং শক্তি শোষণকে ন্যূনতম করে।

9. References

1. Oka, T., & Aoki, H. (2009). Photovoltaic Berry curvature in the honeycomb lattice. arXiv:0905.4191. (বিশ্লেষিত প্রিপ্রিন্ট)।
2. Oka, T., & Aoki, H. (2009). Photovoltaic Hall effect in graphene. Physical Review B, 79(8), 081406(R)। (প্রকাশিত সংস্করণ)।
3. Kitagawa, T., Berg, E., Rudner, M., & Demler, E. (2010). Topological characterization of periodically driven quantum systems. Physical Review B, 82(23), 235114. (Foundational work on Floquet topology).
4. Rudner, M. S., & Lindner, N. H. (2020). Band structure engineering and non-equilibrium dynamics in Floquet topological insulators. Nature Reviews Physics, 2(5), 229-244. (প্রামাণিক পর্যালোচনা).
5. McIver, J. W., et al. (2020). Light-induced anomalous Hall effect in graphene. Nature Physics, 16(1), 38-41. (গ্রাফিনে মূল পরীক্ষামূলক বাস্তবায়ন).
6. Goldman, N., & Dalibard, J. (2014). Periodically driven quantum systems: Effective Hamiltonians and engineered gauge fields. Physical Review X, 4(3), 031027. (Floquet প্রকৌশল বিষয়ে পর্যালোচনা).